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Grenzwertsatz
zentraler Grenzwertsatz, wichtiger Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie mit großer Anwendungsbedeutung in der Stichprobentheorie. - 1. Inhalt: Es sei X1, ..., Xn, ... eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen, die eine beliebige Verteilung besitzen dürfen. Die zugehörige Folge von Summenvariablen ist Z1 = X1; Z2 = X1 + X2; ...; Zn = X1 + ... + Xn; ... Unter sehr allgemeinen Voraussetzungen strebt (Satz von Ljapunoff, allgemeinste Variante des z. G.) die Verteilung der zu Zn gehörenden standardisierten Variablen (Standardtransformation) gegen die Standardnormalverteilung. Bei einer spezielleren Variante (Satz von Lindeberg-Lévy) wird zusätzlich vorausgesetzt, daß die Xi alle dieselbe Verteilung haben. - 2. Bedeutung: Der Satz von Ljapunoff kann als Begründung dafür dienen, daß Variablen, die als Überlagerung einer Vielzahl zufälliger und unabhängiger Einflüsse erklärt werden können, in der Realität oft annähernd normalverteilt (Normalverteilung) sind. Aus dem Satz von Lindeberg-Lévy ist abzuleiten, daß das arithmetische Mittel der Beobachtungswerte in einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe (uneingeschränktes Zufallsstichprobenverfahren) bei großem Stichprobenumfang selbst dann approximativ normalverteilt ist, wenn in der Grundgesamtheit keine Normalverteilung vorliegt. Dies ermöglicht es, gewissermaßen im Schutz großer Stichprobenumfänge, Verfahren der Intervallschätzung und statistische Testverfahren auf der Grundlage der Normalverteilung auch in Anwendungsfeldern einzusetzen, in denen die Normalverteilung empirisch nicht festzustellen ist, etwa in der Wirtschaftsstatistik.
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