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Warteschlangentheorie
Bedienungstheorie, queuing (theory), waiting line theory.
I. Charakterisierung: Eines der Hauptgebiete des Operations Research (OR). Gegenstand sind Vorgänge, bei denen beliebige Einheiten (Transaktionen) in unregelmäßigen und oft unkontrollierbaren Abständen auf Engpässe (Abfertigungseinheit) zukommen, an denen sie abgefertigt werden wollen (Warteschlange). Zwischeneintrittszeiten und Bedienungszeiten sind zufälligen Schwankungen unterworfen. Als Folge können Wartezeiten und Stauungen auftreten (Wartesystem). - Ziel sind Aussagen über die Länge der Wartezeit, die Anzahl Wartender, die Auslastung bzw. notwendige Anzahl der Bedienstationen. - Geschichte: Die Entstehung der Warteschlangentheorie geht zurück auf H. K. Erlang (1909), der sich mit Stauungserscheinungen innerhalb des Telefonnetzes der Stadt Kopenhagen beschäftigte. Auch heute gilt dieses Gebiet noch nicht als abgeschlossen, da sich trotz der einfachen Grundstruktur wegen der Vielzahl von Ausprägungen eine große Anzahl von mathematisch unterschiedlichen Modellen ergibt.
II. Mathematisches Modell: 1. Prämissen über die Wahrscheinlichkeit für das zufällige Eintreffen von Transaktionen: a) In jedem sehr kurzen Zeitintervall ist (unabhängig vom Zeitpunkt) die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen einer Transaktion proportional zur Länge des Zeitintervalls; b) die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von mehr als einer Transaktion in diesem Zeitintervall ist Null. - 2. Ergebnisse: Aufgrund der genannten Prämissen kann bewiesen werden (Differentialgleichungen), daß der so beschriebene Ankunftsprozeß einer Poisson-Verteilung unterliegt. Gilt diese Aussage auch für den Bedienungsprozeß, wobei in diesem Fall die Zwischeneintrittszeiten exponential verteilt (Exponentialverteilung) sind, kann mit Hilfe der Theorie der Markov-Prozesse der stationäre Zustand des Wartesystems formelmäßig beschrieben werden. Sind die Verteilungsparameter (Ankünfte), (Abfertigung) und die Anzahl s der Bedienstationen bekannt, so können hieraus etwa die mittlere Warteschlangenlänge, Wartezeit, Aufenthaltszeit und Wahrscheinlichkeit der verschiedenen Schlangenlängen berechnet werden. Können aufgrund fehlender Verteilungsprämissen derartige analytische Lösungen nicht herbeigeführt werden, kommt die Simulation zum Einsatz. - 3. Als Optimierungsziel wird i. d. R. die Minimierung der Gesamtkosten eines Wartesystems angenommen. Diese setzen sich aus Verweilkosten (Wartezeit und Bedienzeit), Verlustkosten (abgewiesene Transaktionen) und Kosten der Bedienstationen zusammen.
III. Schreibweise: Als Charakteristiken von Wartesystemen dienen Ausprägungen bzw. Anzahl von Ankunftsprozeß, Warteschlangen, Bedienstation, Bedienungsprozeß sowie Kapazitätsbeschränkungen. International hat sich die Kurzschreibweise in 3-Tupeln bzw. 5-Tupeln durchgesetzt: x/y/s bzw. x/y/s/a/b (mit x = Ankunftsprozeß, y = Bedienungsprozeß, s = Anzahl paralleler Bedienstationen, a = Warteschlangenkapazität, b = Anzahl Transaktionen). - Beispiel: M/M/1 bedeutet Ankunfts- und Bedienungsprozeß Poisson-verteilt (Markovsch) mit einer Bedienstation.
IV. Beispiele:
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