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nichtlineares Optimierungsproblem
nichtlineares Programmierungsproblem. 1. Begriff: Mathematisches Optimierungsproblem, bei dem mindestens eine Restriktion des und/oder die Zielfunktion nicht linear (nichtlineare Restriktion; nichtlineare Zielfunktion) ist. - Gegensatz: lineares Optimierungsproblem - 2. Formen: a) Standardform: Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit lassen sich nichtlineare Optimierungssysteme auf die Standardform bringen:
(1) x0 = f0 (x1, x2, ... , xm
(2) fi (x1, x2, ... , xn) 0, j = 1, ... , n
(4) x0 —> Min!
b) Spezialfälle: u. a. konvexes nichtlineares Optimierungsproblem, quadratisches Optimierungsproblem, separables Optimierungsproblem und Problem der Quotientenoptimierung. - 3. Lösungsverfahren: a) Gradientenverfahren: Ausgehend von einer zulässigen Lösung versucht man, in einer zulässigen Richtung schrittweise zu günstigeren Lösungen zu gelangen, wobei man i. d. R. in Richtung der stärksten Verbesserung des Zielwertes fortschreitet. Derartige Verfahren haben sich bisher v. a. bei quadratischen Optimierungsproblemen als effizient erwiesen, ansonsten führen sie normalerweise nur zu relativen Minima/Maxima. - b) Schnittebenenverfahren: Man versucht, die gesuchte Lösung durch schrittweises Linearisieren von Zielfunktion und Restriktion und Lösen der so erhaltenen linearen Optimierungsprobleme zu approximieren. V. a. zur Lösung von konvexen nichtlinearen Optimierungsproblemen geeignet. - c) Strafkostenverfahren: Eine modifizierte Zielfunktion wird unbeschränkt optimiert, in die Verletzungen der Restriktionen mit hinreichend hohen Gewichten eingehen.
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